Question

【题目】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，.

（1）证明：平面；

（2）若四棱锥的体积为，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可；

（2）取AD的中点M，连接PM，CM．证明CM⊥AD．再由已知证明PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，可得PM⊥CM，设，则，，，，，取CD的中点N，连接PN，得PN⊥CD，且PN＝，由四棱锥的体积为，求得x＝2．进而得到的面积.

（1）在平面内，因为，所以.

又平面，平面，故平面.

（2）取的中点，连接，，由，及，，

得四边形为正方形，则，因为侧面是等边三角形且垂直于底面，

平面平面，所以，因为平面，所以平面.

因为平面，所以.设，则，，，，.

因为四棱锥的体积为，所以，所以，

取的中点，连接，则，所以.

因此的面积.