分析 ①由f(x+2π)=f(x)即可得证;
②换元法,设t=sinx+cosx,由三角函数知识可得t∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],且sin2x=t2-1,可得y=t2+t-1,由二次函数区间的最值可得.
③由②利用二次函数的性质即可得解;
④证明f($\frac{π}{2}$-x)=f(x),即可判断正误.
解答 解:①∵f(x+2π)=sin[2(x+2π)]+sin(x+2π)+cos(x+2π)=sin2x+sinx+cosx=f(x),
∴函数周期为2π,故①正确;
②设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
∴t2=(sinx+cosx)2=1+sin2x,
∴sin2x=t2-1,
∴y=sin2x+sinx+cosx=t2-1+t=t2+t-1=(t+$\frac{1}{2}$)2-$\frac{5}{4}$,t∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],
由二次函数可知,当t∈[-$\sqrt{2}$,-$\frac{1}{2}$]时,函数y=t2+t-1单调递减,当t∈[-$\frac{1}{2}$,$\sqrt{2}$]时,函数y=t2+t-1单调递增,
∴当t=-$\frac{1}{2}$时,函数取最小值ymin=-$\frac{5}{4}$,故②正确;
③由②可知y=t2+t-1,t∈[-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$],故③错误;
④∵f($\frac{π}{2}$-x)=sin[2($\frac{π}{2}$-x)]+sin($\frac{π}{2}$-x)+cos($\frac{π}{2}$-x)=sin(π-2x)+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f(x),
∴函数关于x=$\frac{π}{4}$对称,故④正确.
故答案为:①②④.
点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质,二次函数的图象和性质,考查了函数的对称性,周期性质的应用,考查转化思想,数形结合思想及运算的能力,属于中档题.
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A. | {x|-$\frac{1}{2}$<x<0或$\frac{1}{2}$<x<1} | B. | {x|-1<x<-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$<x<1} | ||
C. | {x|-$\frac{1}{2}$<x<$\frac{1}{2}$且x≠0} | D. | {x|-1<x<-$\frac{1}{2}$或0<x<$\frac{1}{2}$} |
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A. | $±\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | B. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | C. | -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
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