Question

【题目】已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[ ， ]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2

=（1+2sinxcosx）+2 ﹣2

=sin2x+cos2x

= sin（2x+ ），

∴函数f（x）的最小正周期为T= =π；

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ， +kπ]，（k∈Z）

（2）解：当x∈[ ， ]时， ≤2x≤ ，

∴ ≤2x+ ≤ ，

∴﹣1≤sin（2x+ ）≤ ，

∴﹣ ≤f（x）≤1；

即函数f（x）的值域是[﹣ ，1]

【解析】（1）化简函数f（x），即可求出f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）求出x∈[ ， ]时，2x+ 的取值范围，即可得出sin（2x+ ）的取值范围，从而求出函数f（x）的值域．