【题目】已知函数.
(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若方程没有实数解,求实数的取值范围.
【答案】(I)在单调递减,在上单调递增;
(II)
【解析】
(I)先对函数求导,结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性;
(II)由没有实数解,结合a的范围,利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况,即可求解.
(Ⅰ)当时,,函数的定义域为,
所以,
令,得,
又因为函数单调递增,
所以在上,,单调递减;
在上,,单调递增.
(II)方程没有实数解,
即方程没有实数解,
设函数,
,
(i)当时,,函数没有零点;
(ii)当时,函数单调递减,,且,函数有零点;
(iii)当时,令,则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
当时,,
令,得,
即函数没有零点,
综上所述,若函数没有零点,
即方程没有实数解,
故实数的取值范围为.
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【题目】如图,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是3 km,从点P沿海岸正东12 km处有一个渔村.
(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的速度是.y(单位:h)表示他从小岛到渔村的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处A与P点的距离.请将y表示为x的函数,并写出定义域;
(2)在(1)的条件下,是否有一个停船的位置使得从小岛到渔村花费的时间最少?说明理由.()
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【题目】下列说法中,错误的是( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交
B.平行于同一个平面的两个不同平面平行
C.若直线l与平面平行,则过平面内一点且与直线l平行的直线在平面内
D.若直线l不平行于平面,则在平面内不存在与l平行的直线
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【题目】已知.
(1)当时,的值域是,试求实数的值;
(2)设关于的方程的两个实根为;试问:是否存在实数,使得不等式对任意及恒成立?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:
健身族 | 非健身族 | 合计 | |
男性 | 40 | 10 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?
(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?
参考公式: ,其中.
参考数据:
0. 50 | 0. 40 | 0. 25 | 0. 05 | 0. 025 | 0. 010 | |
0. 455 | 0. 708 | 1. 321 | 3. 840 | 5. 024 | 6. 635 |
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【题目】如图,MN分别是边长为1的正方形ABCD的边BCCD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,有以下结论:
①异面直线AC与BD所成的角为定值.
②存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
③存在某个位置,使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.
④三棱锥M-ACN体积的最大值为.
以上所有正确结论的序号是__________.
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【题目】已知直线l的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;
Ⅱ若直线与曲线C交于点不同于原点,与直线l交于点B,求的值.
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【题目】甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,记录如下:
(Ⅰ)分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分;
(Ⅱ)从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考,求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率;
(Ⅲ)现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛,根据所抽取的两组数据分析,你认为选派哪位同学参加较为合适?说明理由.
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