Question

【题目】杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角.在欧洲，帕斯卡在1654年也发现了这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.

第0行	1
第1行	1 1
第2行	1 2 1
第3行	1 3 3 1
第4行	1 4 6 4 1
第5行	1 5 10 10 5 1
第6行	1 6 15 20 15 6 1

（1）记杨辉三角的前n行所有数之和为，求的通项公式；

（2）在杨辉三角中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

（3）已知n，r为正整数，且.求证：任何四个相邻的组合数，，，不能构成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；第62行（3）证明见解析

【解析】

（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第行的n个数的和为：，然后求出即可

（2）由方程，解出即可

（3）若有n，r（），使得，，，成等差数列，则由等差中项和组合数的知识可得出，然后可得，这与，，，成等差数列相矛盾.

（1）由二项式定理的性质，杨辉三角第行的n个数的和为：

，

∴.

（2）杨辉三角形的第n行由二项式系数，，1，2，…，n组成.

如果第n行中有，，

那么，，

解这个联立方程组，得，.

即第62行有三个相邻的数，，的比为.

（3）若有n，r（），使得，，，成等差数列，

则，，

即，

.

所以有，

，

经整理得到，.

两式相减可得

而由二项式系数的性质可知，

这与，，，成等差数列矛盾，

所以原命题得证.