Question

已知函数f（x）=-

1

x

-1
（1）画出函数f（x）的大致图象，并写出函数的定义域，值域．
（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

Answer 1

分析：（1）f（x）=-

1

x

-1的图象可由y=-

1

x

的图象向下平移一个单位得到，由图形可得定义域和值域；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，变形可判f（x₁）-f（x₂）＜0，可得单调性．

解答：解：（1）f（x）=-

1

x

-1的图象可由y=-

1

x

的图象，向下平移一个单位得到，
故可知作函数的大致图象如图：

故可得函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠-1}；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-

1

x1

-1-（-

1

x2

-1）
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）单调递增，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．

点评：本题考查函数图象的作法，涉及定义法证明函数的单调性，属中档题．