Question

11．设f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+2ax．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[1，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（3）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-$\frac{16}{3}$，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据导函数大于0，得到关于a的不等式，求出a的范围即可；
（3）根据函数的单调性得到f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂），最小值是f（4），求出a，x₂的值，从而求出函数的最大值即可．

解答 解 （1）由f′（x）=-x²+x+2a，△=1+8a，
①a≤-$\frac{1}{8}$时，△≤0，此时f′（x）≤0，∴f（x）在R递减；
②a＞-$\frac{1}{8}$时，△＞0，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1+8a}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$，+∞）递减，
在（$\frac{1-\sqrt{1+8a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1+8a}}{2}$）递增；
（2）当x∈[1，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（1）=2a；
由题知f′（1）＞0时，存在单调减区间，所以a∈（0，+∞）；
（3）由（1）知f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增，
当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂），
又f（4）-f（1）=-$\frac{27}{2}$+6a＜0，即f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为f（4）=8a-$\frac{40}{3}$=-$\frac{16}{3}$，
得a=1，x₂=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为f（2）=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．