Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中a，b，c∈R．
（1）若a=b=c=1，求f（x）的单调区间；
（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1，b=1，c=1，f′（x）= ，

∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，

∴函数的单调减区间是（0，1），单调增区间是（﹣∞，0），（1，+∞）

（2）解：若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，则a≥0．

a=0，f（x）= ，f′（x）= ≥0，

∴f（x）min=f（0）=1；

a＞0，f′（x）= ，

0＜a≤ ，f（x）min=f（0）=1；a≥ ，f（x）在[0， ]上为减函数，

在[ ，+∞）上为增函数，

f（x）min＜f（0）=1，不成立，

综上所述，0≤a≤

【解析】（1）若a=1，b=1，c=1，求导数，利用导数的正负，求f（x）的单调区间；（2）若b=c=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，先确定a≥0，在分类讨论，确定函数的最小值，即可求实数a的取值范围；
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．