Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=9，S₆=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项的和S_n；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，证明：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得关于a₁和d的方程，解之可得其值，代入等差数列的通项公式和求和公式可得；
（2）由（1）可知

1

anan+1

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），由裂项相消法求和可得T_n=

n

4n+1

＜

n

4n

=

1

4

，命题得证．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得

a3=a1+2d=9 S6=6a1+ 6×5 2 d=66

，
解之可得a₁=1，d=4，故a_n=1+4（n-1）=4n-3，
所以S_n=

n(a1+an)

2

=

n(1+4n-3)

2

=2n²-n；
（2）由（1）可知

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n-1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
故T_n=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]
=

1

4

（1-

1

4n+1

）=

n

4n+1

＜

n

4n

=

1

4

，命题得证．

点评：本题考查裂项相消法求和，涉及等差数列的通项公式和求和公式，属中档题．