Question

【题目】已知圆锥曲线的方程为．

（）在所给坐标系中画出圆锥曲线．

（）圆锥曲线的离心率__________．

（）如果顶点在原点的抛物线与圆锥曲线有一个公共焦点，且过第一象限，则

（i）交点的坐标为__________．

（ii）抛物线的方程为__________．

（iii）在图中画出抛物线的准线．

（）已知矩形各顶点都在圆锥曲线上，则矩形面积的最大值为__________．

Answer 1

【答案】（）见解析（）（）（i）（ii）（iii）见解析（4）面积最大值

【解析】（）将变形为，根据在第一象限的范围内算出几个点的坐标，然后进行描点作图，再利用对称性画出整个椭圆

（2）∵

∴

∴

∴

∴圆锥曲线的离心率是

（3）（i）由（2）得椭圆的焦点在轴上，且

∵顶点在原点的抛物线与圆锥曲线有一个公共焦点，且过第一象限

∴

（ii）由（i）得抛物线的焦点为，且过第一象限，所以抛物线的方程为

（iii）由（ii）得抛物线的准线方程为

（）∵圆锥曲线为

，

， ， ，

∴离心率，

公共焦点，

对于抛物线：

，∴，

∴方程为，准线为，

设矩形上点，

∴ ，

当时，即时

为面积最大值．