Question

已知点F（0，1），一动圆过点F且与圆x²+（y+1）²=8内切，
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设点A（a，0），点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d（a）；
（3）在0＜a＜1的条件下，设△POA的面积为s₁（O是坐标原点，P是曲线C上横坐标为a的点），以d（a）为边长的正方形的面积为s₂．若正数m满足s1≤

1

4

ms2，问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=

x2+(y-1)2

，又动圆与x²+（y+1）²=8内切，故

x2+(y+1)2

=|2

2

-r|，由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程．
（2）设P（x，y），则|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]．再分类讨论能够推导出d(a)=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．
（3）当0＜a＜1时，P（a，±

2-2a2

），于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S₂=2a²+2，若正数m满足条件，则m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，设t=a²+1，则t∈（1，2），a²=t-1，于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，由此能够导出m存在最小值

1

2

．

解答：解：（1）设圆心坐标为P（x，y），则动圆的半径为r=

x2+(y-1)2

，
又动圆与x²+（y+1）²=8内切，
∴

x2+(y+1)2

=|2

2

-r|，
整理得2x²+y²=2，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为2x²+y²=2．
（2）设P（x，y），则
|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²
=-x²-2ax+a²+2
=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
∴当-a＜-1，即a＞1时，f（x）在[-1，1]上是减函数，
[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²．
当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f（x）在[-1，-a]上是增函数，在[-a，1]上是减函数，
则[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2．
当-a＞1，即a＜-1时，f（x）在[-1，1]上是增函数，
[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²，
∴d(a)=

1-a，a＜-1 2a2+2 ，-1≤a≤1 1+a，a＞1

．
（3）当0＜a＜1时，P（a，±

2-2a2

），于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S₂=2a²+2，
若正数m满足条件，则

1

2

a

2(1-a2)

≤

1

4

m(2a2+2)，
即m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，
设t=a²+1，则t∈（1，2），a²=t-1，
于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=2(

-t2+3t-2

t2

)=2(-

2

t2

+

3

t

-1)=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，
∴当

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

∈(1，2)时，[f(a) ]max=

1

4

，
即m2≥

1

4

，m≥

1

2

，∴m存在最小值

1

2

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．