Question

【题目】 已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）已知函数区间上的最小值为1，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）求得切线斜率k,点斜式得方程；（2）法一：，由h(x)单调增，则存在唯一的，，变形，则构造函数，证明函数有唯一解，即可求解；法一：同法一则，利用基本不等式求解即可

（1） ，则函数在点处的切线方程为；

(2)，，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的，

使得，即 （*），

函数在上单调递增，，单调递减；，单调递增，，

由（*）式得，

，显然是方程的解，

又是单调减函数，方程有且仅有唯一的解，

把代入（*）式得，，所求实数的值为.

解法2：，，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以函数在上单调递增，故存在唯一的，

使得，即 （*），

，单调递减；，单调递增，，

由式得，

= =

,

（当且仅当 =1时），由得,此时，

把代入（*）也成立，

∴实数的值为.