Question

【题目】已知f（x）= ．
（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值；
（2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）∵f（x）＞k，
∴＞k；
整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，
∴方程kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2；
由根与系数的关系知，
﹣3+（﹣2）=，
即k=﹣；
（2）∵x＞0，
∴f（x）==≤=，
当且仅当x=时取等号；
又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立，
∴t≥，
即t的取值范围是[，+∞）．
【解析】（1）根据题意，把f（x）＞k化为kx2﹣2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围．