Question

【题目】设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）

=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）

= sinωx﹣ cosωx

= sin（ωx﹣ ），

又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，

∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，

解得ω=6k+2，

又0＜ω＜3，

∴ω=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），

将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x﹣ ）的图象；

再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的图象，

∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；

当x∈[﹣ ， ]时，x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴当x=﹣ 时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．

【解析】（1）根据两角和的正弦公式可得到f（x）= sin（ωx﹣ ），且f（）=0，即可得到ω=2，（2）根据三角函数图象平移的规则（左加右减）可得到g（x）的解析式，由三角函数的图象和性质可得出g（x）的最小值.