Question

【题目】已知如图1直角三角形ACB中，，，，点为的中点，，将沿折起，使面面，如图2.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点，连，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得、，利用线面垂直判定定理可知面，由线面垂直性质得到结论；

（2）以为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

（1）在图中，取的中点，连.

在直角中，，，，

，，

又点为的中点，，有，，，

由得：，

，.

将沿折起，使面面，

由点为的中点，在等边中，，面面，

面，又面，，

又，，平面，面，

又面，.

（2）以为原点，分别以，，过点且垂直于平面的直线为，，轴建立如下图所示空间直角坐标系：

则，，，，

在面中，设其一个法向量，

又，，

则，令，则，，，

在面中，设其一个法向量，

又，，

则，令，则，，，

，

二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.