Question

【题目】已知椭圆过点且椭圆的短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点，使得，恒成立？若存在求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）由椭圆性质可知,点代入即可求得结果.

（Ⅱ）假设存在定点符合题意，①当直线的斜率不存在时，由解得或；②当直线的斜率为0时,解得或.由①②可得,然后证明当时,通过方程联立,借助韦达定理,坐标表示即可证得结论.

解：（Ⅰ）因为椭圆过点，所以.

又椭圆的短轴长为，所以，所以，

解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）假设在轴上存在定点，使得，

①当直线的斜率不存在时，则，，

，

由，解得或；

②当直线的斜率为0时，则，，，

由，解得或.

由①②可得，即点的坐标为.

下面证明当时，恒成立，当直线的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.

当直线斜率存在且不为0时，设其方程为，，，

由，得，

直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，

且，.

，

所以

.

综上所述，在轴上存在定点，使得恒成立..