Question

【题目】设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；

（2）由（1）可得，易知在上单调递减，在，上单调递增，且，采用反证法，推出矛盾即可.

（1）因为，

由题意，，即

则；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.

【点晴】

本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.