Question

【题目】已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.

（1）求C1的离心率；

（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；

（2）由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.

（1），轴且与椭圆相交于、两点，

则直线的方程为，

联立，解得，则，

抛物线的方程为，联立，

解得，，

，即，，

即，即，

，解得，因此，椭圆的离心率为；

（2）由（1）知，，椭圆的方程为，

联立，消去并整理得，

解得或（舍去），

由抛物线的定义可得，解得.

因此，曲线的标准方程为，

曲线的标准方程为.