Question

【题目】如图，正四棱锥的底边长为2，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由正方形的性质知，又由相似三角形可得，

再结合面面平行的判定定理即可证明；

（2）由已知条件可推导出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，

求出平面的法向量，利用公式即可求锐二面角的余弦值.

（1），且，

四边形为平行四边形，

，又平面，

平面，

，，，

，，又平面，

平面，

，平面，，

平面平面；

（2）如图，连接，相交于点，连接，

四棱锥为正四棱锥，

，，

又，∴，且，

同理可得，∴，，两两垂直，

故建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

，，，

令平面的法向量为，

则即

解得

取，则，，

故，

同理可得平面的一个法向量，

∴，

锐二面角的余弦值为.