Question

【题目】四面体ABCD的每个顶点都在球O的表面上,AB是球O的一条直径,且AC=2,BC=4,现有下面四个结论:

①球O的表面积为20π;②AC上存在一点M,使得AD∥BM;

③若AD=3,则BD=4;④四面体ABCD体积的最大值为.

其中所有正确结论的编号是( )

A.①②B.②④C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由AC=2,BC=4可求得直径为AB=2，从而可判断①③；由AD与平面ABC相交可判断②；由D到平面ABC的距离的最大值为球的半径可判断④.

因为AB是球O的一条直径,所以AC⊥BC,AD⊥BD,所以AB=2.

若AD=3，则BD=,③错；

球的半径为,球O的表面积为4π×()2=20π ，①对；

因为AD与平面ABC相交,所以AC上找不到一点M,使得AD∥BM.，②错；

因为D到平面ABC的距离的最大值为球的半径,所以四面体ABCD体积的最大值为

××2×4×=.④对，

即所有正确结论的编号是①④.

故选：C.