Question

【题目】如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）根据平几知识得，，再根据线面垂直判定定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论;（Ⅱ）根据条件建立空间直角坐标系，设点坐标，利用方程组以及向量数量积求各平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（Ⅰ），是的两个三等分点，

易知，是正方形，故

又，且

所以面

又面

所以面

（Ⅱ）过作于，过作的平行线交于，则面

又所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系

则，，，

所以，，，

设平面的法向量为

则∴

设平面的法向量为

则∴

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值