【题目】已知动圆过定点,且与定直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)若是轨迹的动弦,且过, 分别以、为切点作轨迹的切线,设两切线交点为,证明:.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】
试题(I)由题意可得:动圆圆心到定点(0,2)与到定直线y=-2的距离相等,利用抛物线的定义求轨迹方程即可;(II)设AB:y=kx+2,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A、B两点的切线斜率关系,从而解决问题
试题解析:(1)依题意,圆心的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是
(2)
,
,
抛物线方程为 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是
,.
所以,
(注:也可设,再由,设
则直线AQ:,联立直线和抛物线方程,由直线和抛物线相切得
可得,同理可得,从而证)
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【题目】已知O为坐标原点,椭圆C:的左、右焦点分别为,,右顶点为A,上顶点为B,若,,成等比数列,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为.
求椭圆C的标准方程;
过该椭圆的右焦点作倾角为的直线与椭圆交于M,N两点,求的内切圆的半径.
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【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | |
男生 | 20 | 5 |
女生 | 10 | 20 |
临界值参考:
0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中)
参照附表,得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“喜欢“应用统计”课程与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”
C.有以上的把握认为“喜欢应用统计”课程与性别有关”
D.有以上的把握认为“喜欢“应用统计”课程与性别无关”
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【题目】2019年春节期间,某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.
方案一:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得60元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.
方案二:一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球,其中10个红球,20个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.
(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得180元返金券的概率;
(2)若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望;
②为了吸引顾客消费,让顾客获得更多金额的返金券,该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动?
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【题目】在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)若点的直角坐标为,求直线及曲线的直角坐标方程;
(2)若点在上,直线与交于两点,求的值.
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【题目】中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做:“函数”,沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义,已知集合,,给出下列四个对应法则,请由函数定义判断,其中能构成从到的函数的是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,已知过原点O的直线与函数的图象交于A,B两点,分别过A,B作y轴的平行线与函数图象交于C,D两点,若轴,则四边形ABCD的面积为_____.
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【题目】如图,在空间直角坐标系中,已知正四棱锥的高,点和分别在轴和轴上,且,点是棱的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】下列说法中正确的是( )
A.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据,其线性回归方程是,且,则实数的值是
B.正态分布在区间和上取值的概率相等
C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的值越接近于1
D.若一组数据的平均数是2,则这组数据的众数和中位数都是2
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