Question

【题目】已知函数在点处的切线为．

（1）求实数， 的值；

（2）是否存在实数，当时，函数的最小值为，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）若，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， 的取值范围为；（3）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）求导，进而可得，即可解出， 的值；（2）先对函数求导，再对的值进行分类讨论，即可得的取值范围；（3）结合（2），可证，进而可证，即可证．

试题解析：（1）解：∵，其定义域为，

∴．

依题意可得解得．

（2）解： ，

∴．

① 当时， ，则在上单调递减，

∴．

② 当时，，则在上单调递减,

∴．

③当时，则时，；时，，

∴在上单调递减，在上单调递增．

故当时， 的最小值为． ∵．

∴．

综上所述，存在满足题意，其取值范围为．

（3）证法1：由（2）知，当时，在上单调递减,

∴时，, 即．

∵,∴．．

∴． ∵,∴．

证法2：设，

则． 当，，

∴在上单调递∴．

∴时，．

, ∴．

, ∴．