Question

（05年辽宁卷）（14分）

已知椭圆的左、右焦点分别是

、，是椭圆外的动点，满足，

点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且

满足．

（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ；

（Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；

（Ⅲ）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求

∠的正切值；若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以             ……3分

证法二：设点P的坐标为记

则

由，得

．

证法三：设点P的坐标为

椭圆的左准线方程为

      由椭圆第二定义得，即

       由，所以            ……3分

 

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 

           当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

当|时，

由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是                ……7分

 

解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.

       当|时，由，得.

       又，所以T为线段F₂Q的中点.

       设点Q的坐标为（），则

       因此                          ①

       由得        ②

       将①代入②，可得

       综上所述，点T的轨迹C的方程是                ……7分

③ ④

   （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是

        

       由③得，

由④得

所以，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.                                        ……11分

       当时，，

       由，

       ，

       ，得

解法二：

C上存在点M（）使S=的充要条件是

③ ④

        

       由④得 上式代入③得

       于是，当时，存在点M，使S=；

       当时，不存在满足条件的点M.                                        ……11分

       当时，记，

       由知，所以

                                          ……14分