Question

【题目】如图，已知在长方体中，，，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积为20；

②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；

③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面；

④存在唯一的点，使得平面，且．

其中正确的命题是_____（填写所有正确的序号）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由题意逐个讨论所给的命题，判断它们的真假．

解：①由题意可得，

，所以①正确；

②将长方体展开，如图所示，恰好过点时，截面的周长为，

而在中，，所以最小值为，

由面面平行的性质，可得四边形为平行四边形，且为展开图中唯一的点，所以②正确；

③点不与，重合，则不会为，即不在面内，

可作出的平面与平行，所以在棱上均有相应的，使得面，故③正确；

④因为，可得对角面为正方形，可得，

若时，由三垂线定理可得，即有面，

矩形中，，所以，所以，故④正确

综上可得：正确为①②③④.

故答案为：①②③④.