Question

【题目】已知椭圆： 的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点．

（1）若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

（2）如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）d的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）设直线，代入中得： ，由斜率公式表示出直线的斜率，结合韦达定理计算斜率之和，即可作出判断；（2）设直线，代入中得： ，根据韦达定理，表示出直线的斜率，令斜率之积为，得出的关系，根据判别式得出的范围，代入点到直线距离公式得出与的关系，利用基本不等式得出的范围.

试题解析：（1）设直线，代入中得： .

设，

又F(1，0)，

又

，即直线FA、FB的斜率之和是定值0.

（2）设直线，代入中得： .

设，

若,则

即，

将代入并化简得：

，

代入判别式得恒成立，

，

故d的取值范围为.