Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,点D是AB的中点

（1）求证：ACBC；

（2）求证：AC//平面CDB；

（3）求二面角B-DC-B1的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）由已知得AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，由此能证明AC⊥BC1．（2）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，由已知得DE∥AC1，由此能证明AC1∥平面CDB1．（3）以C为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-CD-B1正切值

试题解析：（1）因为，所以，即

（2）设,则,故

所以,即

因为平面,平面,所以AC//平面CDB

（3）可求得平面的一个法向量为，取平面CDB的一个法向量为

，则，由图可知，二面角B-DC-B1的余弦值为