【题目】如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为
的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为
，
.
（1）求关于
的函数关系式；
（2）定义比值
为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足：
时，招贴画最优美.
【答案】（1）
，
；（2）证明见解析
【解析】
（1）分类
时，点P在线段OG上，当
时，点P在线段GH上，当 
时，
.求出半径
后可得弦长；
（2）由（1）的分类讨论求得
.
，令
，用导数的知识求它的最大值即可得．
解：（1）当时，点P在线段OG上，
；
当时，点P在线段GH上，
；
当 时，. 综上所述，，.
所以，弧AD的长
，故所求函数关系式为，.
（2）当时，
；
当时，
；
当 时，
.所以，
，.
从而，.
记，. 则
.
令
，得
. 因为，所以
，
从而
， 显然
，所以
.
记满足
的
，下面证明
是函数
的极值点.
设
，.则
在上恒成立， 从而
在上单调递减，所以，当
时，
，即
，在
上单调递增；当
时，
，即
，在
上单调递减.
故 在处取得极大值，也是最大值.
所以，当
满足时，函数即
取得最大值，此时招贴画最优美.
智趣暑假温故知新系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1， 
＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列
的前n项和．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）分别写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）已知点
，直线与曲线相交于
两点，求证：
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为
的清洁棒在弯头内恰好处于
位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，
）.
（1）请用角
表示清洁棒的长
；
（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形且
∥
，侧面
为等边三角形，且平面
平面.
（1）求平面与平面
所成的锐二面角的大小；
（2）若
，且直线
与平面所成角为
，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知等差数列
的公差为
，等差数列
的公差为
.设
分别是数列
的前
项和，且
， ，
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，
.
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设bn＝an3n，求数列{bn}的前n项和Tn.
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