Question

【题目】如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点，

（1）求的取值范围；

（2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）点的坐标为

【解析】

将抛物线方程与圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程, 抛物线与圆有四个交点需满足关于的一元二次方程在上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于的不等式组,解不等式即可.

不妨设抛物线与圆的四个交点坐标为，，，，据此可表示出直线、的方程,联立方程即可表示出点坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形的面积的表达式,令,由及知,对关于的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形的面积取得最大值时的值,进而求出点坐标.

（1）联立抛物线与圆的方程

消去，得.

由题意可知在上有两个不等的实数根.

所以解得，

所以的取值范围为.

（2）根据（1）可设方程的两个根分别为，（），

则，，，，

且，，

所以直线、的方程分别为

，

,

联立方程可得,点的坐标为，

因为四边形为等腰梯形,

所以

，

令，则，

所以，

因为,所以当时,；当时,，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

即当时，四边形的面积取得最大值，

因为,点的坐标为,

所以当四边形的面积取得最大值时,点的坐标为.