Question

【题目】设椭圆的离心率为，圆与正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由离心率为得，再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为得到点在椭圆上，解方程组即得到椭圆的标准方程.

（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，再证明当过点与圆相切的切线斜率存在时，即可得证.

（1）解设椭圆的半焦距为，由椭圆的离心率为，由题知，，∴椭圆的方程为，解得，点在椭圆上，∴，解得，，∴椭圆的方程为.

（2）证明：当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，

由（1）知，，，，，

∴，即，

当过点与圆相切的切线斜率存在时，

可设切线的方程为，，，

∴，即，

联立直线和椭圆的方程得，

即，

得，且，，

∵，，

∴，

综上所述，圆上任意一点、、处的切线交椭圆于点，都有.