Question

【题目】已知抛物线过点(为非零常数)与轴不垂直的直线与C交于两点.

(1)求证:(是坐标原点)；

(2)AB的垂直平分线与轴交于，求实数的取值范围；

(3)设A关于轴的对称点为D,求证:直线BD过定点,并求出定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) ；(3) 过定点，且定点为.

【解析】

(1)因为，所以联立直线和曲线方程，得到的表达式，代入计算即可证明结果. (2)首先根据第一问的计算过程求出的中点坐标，从而设出AB的垂直平分线：，令，求出的表达式，根据第一问中求出的关系，代入求解的范围即可. (3)首先根据对称关系设出D点的坐标，然后利用两点式写出直线BD的方程，根据第一问的计算过程化简直线方程，从而求出直线所过的定点.

(1)设过点的直线的方程为，联立曲线方程得：

所以.

(2) 设两点的中点坐标为，则，

.则，即AB的垂直平分线为，

令，解得.又，即，所以.

所以的取值范围为.

(3) A关于轴的对称点为D，则，则直线BD：，整理得：.

又=.

所以直线BD为：=，所以恒过定点.得证.