Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线，过动点作于点，的平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）过点作两条直线，分别交曲线于两点（异于点）．当直线的斜率之和为2时，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点，

【解析】

（1）设，由题得，即得，即得解；

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据得到，即得直线经过的定点；当直线的斜率不存在时，直线也经过定点.即得解.

解：（1）设，由已知，，

，，，

，即，

化简得，曲线的方程为．

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，

且设，．

由得，

由已知，，，

由已知，得，

整理得，

，整理得．

，，

直线的方程为，

直线过定点．

当直线的斜率不存在时，设其方程为，且设，，

其中．

由已知，得，

，

直线的方程为，此时直线也过定点．

综上所述，直线恒过定点．