Question

如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标．

Answer 1

分析：设点N，A，B的坐标代入抛物线方程，求得y=

x2

4p

，求导数后可知切线斜率进而可得

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，化简整理得x₁²-2mx₁-4p²=0，同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，进而可知x₁和x₂是关于x的方程x²-2mx-4p²=0的两个根，进而可求得这两个根，直线AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，令x=0得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

整理后可知结果为定值，进而可知直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．

解答：证明：因为抛物线的准线l的方程为y=-p，
所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得y=

x2

4p

，
求导数得y′=

x

2p

，于是

y1+p

x1-m

=

x1

2p

，
即

x 2 1 4p +p

x1-m

=

x1

2p

，
化简得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是关于x的方程x²-2mx-4p²=0
两个实数根，所以x1，2=m±

m2+4p2

，且x₁x₂=-4p²．
在直线AB的方程y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)中，
令x=0，
得y=y1-

y2-y1

x2-x1

x1=

x2y1-x1y2

x2-x1

═

x1x2(x1-x2)

4p(x2-x1)

=-

x1x2

4p

=p为定值，
所以直线AB必经过y轴上的一个定点Q（0，p），即抛物线的焦点．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，考查了学生综合分析问题和运算的能力．