Question

【题目】已知椭圆的离心率e满足，以坐标原点为圆心，椭圆C的长轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P(0，1)的动直线(直线的斜率存在)与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定点

【解析】

（1）根据点到直线距离公式计算得到，计算，得到答案.

（2）设，直线的方程为，联立方程得到，，得到，计算得到答案.

（1）由题意知，，

由，解得或（舍），故，，

椭圆C的方程为.

（2）存在，

假设y轴上存在与点P不同的定点Q，使得恒成立，

设，直线的方程为，

由，得，，

，

，

，，，，

，，即，

解得，存在定点，使得恒成立.