Question

【题目】已知函数，记为的导函数.

（1）当时，若存在正实数，（）使得，证明：；

（2）若存在大于1的实数，使得当时都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）或

【解析】

（1）首先利用导数得到在上是增函数，然后由可得，即，然后利用基本不等式将其转化为，即，再结合的单调性即可得证；

（2）由可得或，利用导数得出的单调性，然后分或两种情况讨论，每种情况下结合的单调性即可求出的取值范围.

（1）当时，，

所以，故在上是增函数.

又，所以.

则有，整理得.

因为且，所以，于是.

整理得，即.

又函数在上单调递增，所以，即.

（2）当时，等价于，

即，或.

设，则，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

①考虑：存在大于1的实数，使得当时，都有成立.

取，则当时，要使得恒成立，只需要满足，解得.

②考虑：存在大于1的实数，使得时，都有成立.

若，即，则由在上单调递减且知，

必存在，使得当时，恒成立，故符合条件.

若，则，结合在上单调递减知，

当时，故不存在大于1的实数，使得当时，都有成立.

综上所述：或.