Question

已知a＞0,a≠1,设P:函数y=log_a(x+1)在x∈(0,+∞)内单调递减;Q:曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同两点.如果P与Q有且只有一个正确,求a的取值范围.

Answer 1

解：当0＜a＜1时,函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内单调递减;

    当a＞1时,y=log_a(x+1)在(0,+∞)内不单调递减.

    曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同两点等价于即0＜a＜或a＞.

    情形(ⅰ)  P正确,且Q不正确,即函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内单调递减,曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴不交于两点.

    因此,a∈(0,1)∩(［,1］∪(1,)),即a∈［,1］.

    情形(ⅱ)  P不正确,且Q正确,即函数y=log_a(x+1)在(0,+∞)内不单调递减,曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同两点,因此,a∈(1,+∞)∩［(0,)∪(,+∞)］,即a∈(,+∞).

    综上,a的取值范围为［,1］∪(,+∞).