Question

【题目】某地有种特产水果很受当地老百姓欢迎，但该种水果只能在9月份销售，且该种水果只能当天食用口感最好，隔天食用口感较差。某超市每年9月份都销售该特产水果，每天计划进货量相同，进货成本每公斤8元，销售价每公斤12元；当天未卖出的水果则转卖给水果罐头厂，但每公斤只能卖到5元。根据往年销售经验，每天需求量与当地气温范围有一定关系。如果气温不低于30度，需求量为5000公斤；如果气温位于，需求量为3500公斤；如果气温低于25度，需求量为2000公斤；为了制定今年9月份订购计划，统计了前三年9月份的气温范围数据，得下面的频数分布表

气温范围
天数	4	14	36	21	15

以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率．

（1）求今年9月份这种水果一天需求量（单位：公斤）的分布列和数学期望；

（2）设9月份一天销售特产水果的利润为（单位：元），当9月份这种水果一天的进货量为（单位：公斤）为多少时，的数学期望达到最大值，最大值为多少？

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）时，的数学期望达到最大值，最大值为11900

【解析】

（1）根据题意可知9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；

（2）结合（1）的分布列，分别讨论当和时，利润的数学期望，即可求出期望的最大值以及期望最大时的值。

解析：（1）今年9月份这种水果一天的需求量的可能取值为2000、3500、5000公斤，

，，

于是的分布列为：

	2000	3500	5000
	0.2	0.4	0.4

的数学期望为：．

（2）由题意知，这种水果一天的需求量至多为5000公斤，至少为2000公斤，因此只需要考虑，

当时，

若气温不低于30度，则；

若气温位于[25,30)，则；

若气温低于25度，则；

此时

当时，

若气温不低于25度，则；

若气温低于25度，则；

此时；

所以时，的数学期望达到最大值，最大值为11900．