Question

【题目】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），F为抛物线C的焦点．以F为圆心，p为半径作圆，与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线y＝kx+1与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，设切线l1，l2的交点为P，求证：△PAB为直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意可得M点的坐标为，代入抛物线方程，即可求出p的值；

（2）设，利用导数的几何意义得到A，B两点处的切线斜率分别为，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到k1k2＝﹣1，从而得到△PAB为直角三角形．

（1）记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M，

由圆F与抛物线C的准线相切，且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径，

所以M点的坐标为，代入抛物线方程得：，

所以，所以抛物线的方程为.

（2）设，

由，可得y，则，

所以A，B两点处的切线斜率分别为，，

由，得，所以，

所以，

所以，即为直角三角形．