Question

已知函数f（x）=（x-2）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=3，a_n+1=a_n-

f(an)

f′(an)

（I）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-

f(an)

f′(an)

，可得an+1-

(an-2)2

2(an-2)

=

1

2

an+1，an+1-2=(

1

2

an+1)-2=

1

2

an -1=

1

2

(an-2)，由此能够证明数列{a_n-2}是等比数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意bn=nan=

n

2n-1

+2n，则Sn=(

1

20

+

2

2

+

3

22

  +…+

n

2n-1

)+n2+n，令Tn=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，由错位相减法能够求出Tn=4(1-

1

2n

) -

2n

2n

=4-

n+2

2n-1

，所以Sn=Tn+n2+n=4-

n+2

2n-1

+n2+n．

解答：解：（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-

f(an)

f′(an)

，
可得an+1-

(an-2)2

2(an-2)

=

1

2

an+1，
an+1-2=(

1

2

an+1)-2=

1

2

an -1=

1

2

(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为

1

2

的等比数列，
∴an-2=(a1-2) (

1

2

)n-1，
∴an=(

1

2

)n-1+2．
（Ⅱ）由题意bn=nan=

n

2n-1

+2n，
则Sn=(

1

20

+

2

2

+

3

22

  +…+

n

2n-1

)+n2+n（9分）
令Tn=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
①×

1

2

得：

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2（1-

1

2n

）-

n

2n

，
即Tn=4(1-

1

2n

) -

2n

2n

=4-

n+2

2n-1

（12分）
所以Sn=Tn+n2+n=4-

n+2

2n-1

+n2+n（13分）

点评：第（I）题考查等比数列的证明和通项公式的求法，解题时要注意合理地构造数列；第（II）题考查数列前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．