Question

【题目】定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．已知函数，．

（1）求函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合；

（2）若函数g（x）在[0，+∞）上是以7为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）[3，+∞）, （2）[﹣9，5]

【解析】

（1）首先求出函数在区间的单调性，再根据单调性即可求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合.

（2）将问题转化为在上恒成立，通过换元法求出相应的最值即可求出的取值范围.

（1），

由复合函数的单调性法则易知，函数在上单调递减，

∴函数在区间上单调递减，

∴函数在区间上的值域为，

∴，

∴函数在区间上的所有上界构成的集合为.

（2）由题意知，在上恒成立，即，

则，

∴在上恒成立，

设， ，.

易知，在上为增函数，故，

由知，当时，，为减函数，

故，

综上，实数的取值范围为.