Question

【题目】如图所示，在三棱柱中，为正方形，为菱形，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若是中点，是二面角的平面角，求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先根据平面几何知识证明 从而可得 面，可得 ，进而得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得结论；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.

试题解析：（1）证明：连接，因为为菱形，所以，又，

，所以面.

故.

因为，且，所以面.

而，所以平面平面；

（2）因为是二面角的平面角，所以，又是中点，

所以，所以为等边三角形.

如图所示，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，.

设是平面的一个法向量，则

，即，

取得.

所以，

所以直线与平面所成的余弦值为.

【方法点晴】本题主要考查利用求二面角，面面垂直的判定定理，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.