Question

【题目】已知函数 .

（1）若函数与的图象恰好相切与点，求实数 的值；

（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得,即得实数的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题（x>1）最大值,再利用导数研究函数单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系： ，再利用（2）的结论，令，则代入放缩得证

试题解析：（1）

所以

（2）方法一：（分参）

即时， ， 时，显然成立；

时，即

令，则

令 []

即

在上单调递减

故

方法二：（先找必要条件）

注意到时，恰有

令

则

在恒成立的必要条件为

即

下面证明：当时，

令

即

在递减，

恒成立，即也是充分条件，故有.

（3）不妨设为前项和，则

要证原不等式，只需证

而由（2）知：当时恒有

即当且仅当时取等号

取，则

即即

即成立，从而原不等式获证.