Question

【题目】在等腰梯形中，，，，是的中点，将梯形绕旋转，得到梯形（如图）.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出BC∥平面ADD'，BC'∥平面ADD'，从而平面BCC'∥平面ADD'，由此能证明NC'∥平面ADD'．

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AC′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣C'N﹣C的余弦值．

（1）证明：∵BC∥AD，∴BC∥平面ADD'，

同理BC'∥平面ADD'，

又BC∩BC'＝B，∴平面BCC'∥平面ADD'，

∵NC'平面BCC'，∴NC'∥平面ADD'．

（2）解：，是的中点，，又 四边形是平行四边形，，又

，，四边形是菱形，，

，即，又平面平面，平面平面 ，平面

平面， 平面.

如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，

，，，设平面的法向量为.

则即

取，则，，

平面，平面 平面，又，平面平面，平面，与交于点，则为的中点，，平面的法向量

.，

由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.