Question

【题目】四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，为中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）在中，由余弦定理，，又，，得到，，

由线面垂直的判定定理，得平面，进而利用面面垂直的判定定理，证得平面平面.

（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为和平面平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）在直角梯形中，，，

在中，由余弦定理，，又，，

有，是等腰三角形，所以，，

由线面垂直的判定定理，得平面，

又由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.

（2）以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

有，，，

令平面的法向量为，由，可得一个，

由（1）可知平面的一个法向量为，

所以,

所以二面角的余弦值为.