Question

【题目】已知函数.

（1）若，，求的最大值；

（2）当时，讨论极值点的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）时，极值点的个数为0个；时，极值点的个数为2个

【解析】

（1）利用导数求出单调性，从而求得的最大值；

（2）先求导数，，导数的符号由分子确定，先分和讨论，时，易得，当时，将看成关于的二次函数，由确定的符号，从而判断极值点的个数.

（1）当，时，，

此时，函数定义域为，，

由得：；由得：，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以.

（2）当时，函数定义域为，

，

①当时，对任意的恒成立，

在上单调递减，所以此时极值点的个数为0个；

②当时，设，

（i）当，即时，

对任意的恒成立，即在上单调递减，

所以此时极值点的个数为0个；

（ii）当，即时，记方程的两根分别为，，

则，，所以，都大于0，

即在上有2个左右异号的零点，

所以此时极值点的个数为2.

综上所述时，极值点的个数为0个；

时，极值点的个数为2个.