Question

【题目】已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，求函数f（x）的最值及相应x的取值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+2cos2x+1 =sin2x+cos2x+2= sin（2x+ ）+2，
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，
则kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
则有函数的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．
（Ⅱ）当x∈[0， ]时，2x+ ∈[ ， ]，
则有sin（2x+ ）∈[﹣1，1]，
则当x= 时，f（x）取得最小值，且为1，
当x= 时，f（x）取得最大值，且为 +2
【解析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数f（x），再由正弦函数的周期和单调增区间，解不等式即可得到．（Ⅱ）由x的范围，可得2x﹣2x+ 的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦函数的单调性的相关知识，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数，以及对三角函数的最值的理解，了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．