Question

【题目】如果数列，，，（，且），满足：①，；

②，那么称数列为“”数列．

（）已知数列，，，；数列，，，，．试判断数列，是否为“”数列．

（）是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论．

（）如果数列是“”数列，求证：数列中必定存在若干项之和为．

Answer 1

【答案】（）数列不是“”数列，数列是“”数列；（）不存在等差数列是“”数列；（）证明见解析．

【解析】分析：（1）根据定义直接判断即可得解；（2）假设存在等差数列是“”数列，由，得，与矛盾，从而可证不存在等差数列为“”数列；（3）将数列按以下方法重新排列：设为重新排列后所得数列的前项和（且），任取大于0的一项作为第一项，则满足，然后利用反证法，证明即可.

详解：（）由题目是定义可直接判断出，数列不符合数列要求，数列是“”数列．

（）不存在一个等差数列是“”数列，

证明：假设存在等差数列是“”数列，

则由，得与矛盾，

说明假设不成立，即不存在等差数列是“”数列．

（）将数列按以下方法重新排列：

设为重新排列后所得数列的前项和（，且），

任取大于的一项作为第一项，则满足，

假设当时，，

若，则任取大于的一项作为第项，可保证，

若，则剩下的项必有或与异号的一项，否则总和不是，

∴取或与异号的一项作为第项，可保证，

如果按上述排列后存在成立，那么命题得证，

否则，， 这个整数只能取区间内的非整数，

∵区间内的非整数至多个，

∴一定存在，

那么从第项到第项之和为，命题得证，

综上所述，数列中一定存在若干项之和为，证毕．