Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.

（1）求曲线的普通方程；

（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）利用消去参数，求得曲线的直角坐标方程.根据坐标变换的知识求得的普通方程.

（2）设出直线的参数方程，代入的方程并写出根与系数关系，求得弦长的表达式，并利用三角函数最值的求法求得取得最小值时的值.

（1）将曲线参数方程为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为，设上任意一点为，经过伸缩变换后的坐标为，由题意得：

，故；

（2）过点倾斜角为的直线的参数方程为：为参数)，带入的方程得：，

记对于的参数分别为，，

，

故当时，.