Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，点为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）求出和的数量关系，根据勾股定理可证，又是正三角形，所以，根据直线与平面垂直的判定定理，可证平面；

（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量所成的余弦值，从而可以求出平面与平面所成二面角的正弦值.

（1）证明：连结，，因为底面为菱形，，

故，又为的中点，故.

在中，，为的中点，所以.

设，则，，

因为，

所以.（也可通过来证明），

又因为，平面，平面，

所以平面；

（2）因为，，

，

所以平面，又平面，所以.

由（1）得平面，又平面，故有，又由，

所以，，所在的直线两两互相垂直.

故以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴如图建系.

设，则，，，.

所以，，，

由（1）知平面，

故可以取与平行的向量作为平面的法向量.

设平面的法向量为，则，

令，所以.

设平面与平面所成二面角为，而

则，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.