Question

【题目】已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，若数列满足，且等式对任意成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的项相间排列构成新数列，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和；

（3）对于（2）中的数列前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1时，4a1，解得a1，n≥2时，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化为：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根据数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差数列的通项公式可得an．

（2）数列{bn}满足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1对任意n≥2成立．利用等比数列的通项公式可得bn．进而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λcn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，对n分类讨论即可得出．

（1）由，即，所以，

两式相减得，，

故，

因为，所以．

又由得．

所以，数列是首项为，公差为的等差数列．

所以，数列的通项公式为．

（2）由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．

所以，

数列的前项和，数列的前项和．

所以，．

（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，

由，得，

即，

设，则，

所以，当时，单调递增，当时，单调递减．

因为，当时，，所以，．

所以，．

当为奇数时，设（），则，

，

由，得，即，

设，则

，故单调递增，，故．

综上，的取值范围是．